ANÁLISIS DIMENSIONAL Y MULTIDIMENSIONAL

“Cada magnitud física se supone dotada de una dimensión que caracteriza su cualidad” (Hans Reinchenbach)

---

Análisis Dimensional
Magnitudes físicas

En matemática los números se consideran “puros”, sin atributos. En física, sin embargo, se consideran magnitudes, que constan de un número puro (o cantidad) y una unidad, que puede ser simple o compuesta. Por ejemplo, 50 metros, 10 segundos, 30 Kms/hora, etc. Una misma magnitud física puede expresarse de diferentes formas, dependiendo de la unidad elegida. Por ejemplo, 500 metros = 0,5 Kms = 50.000 cms. Las magnitudes físicas pueden ser primarias (longitud, tiempo y masa) y secundarias, como velocidad, aceleración, fuerza y energía.

Las magnitudes se manejan siguiendo las leyes del álgebra, por ejemplo.

(50 m)/(5 seg) = (10 m/seg)
(30 Km/hora) * (2 hora) = 60 Km

Dimensiones físicas

A cada magnitud física primaria tiene asociada una dimensión, que se simboliza por una letra (L: longitud, T: tiempo, M: masa). Las magnitudes compuestas tiene asociada una expresión dimensional, que es un monomio, es decir, un producto de potencias de las dimensiones primarias. Por ejemplo, utilizando la notación de Maxwell ([x] para referirse a las dimensiones de una magnitud física x):

• Velocidad: [v] = LT⁻¹.
• Fuerza: [f] = [m][a] = MLT⁻².
• Energía: [e] = L²MT−2.

En general, la expresión dimensional de una magnitud física es L^n₁·T^n₂·M^n₃, siendo n₁, n₂ y n₃ números enteros (positivos, cero o negativos).

Las constantes y los ángulos tienen dimensión 1 (son adimensionales), así como los argumentos y los resultados de las funciones trigonométricas, logaritmo y exponencial. Por ejemplo, el número de Reynolds (R) no tiene dimensiones: [R] = 1.

El Análisis Dimensional cumple las reglas del álgebra, a excepción de la suma y la resta. Por ejemplo: [m]+[m]=[m]= M y [m]−[m]=[m]= M.

El Análisis Dimensional es una herramienta conceptual, de tipo cualitativo, muy utilizada en ciencia pura y aplicada para ayudar a modelar de forma simple los fenómenos físicos, y así ganar comprensión expresando las relaciones entre las dimensiones de las magnitudes que intervienen en dichos fenómenos.


Magnitudes independientes entre sí

Un conjunto de magnitudes se dice que son independientes entre sí si ninguna de ellas se puede expresar como producto de potencias del resto. Por ejemplo, la densidad (&ro;), la velocidad (v) y la fuerza (f) son magnitudes independientes entre sí: [ρ]= ML⁻³, [v]=LT⁻¹, [f]=MLT⁻².


Principios del Análisis Dimensional

El Análisis Dimensional estudia las dimensiones físicas que intervienen en las ecuaciones que modelizan un fenómeno. Es una técnica simple y potente que se basa en los dos siguientes principios siguientes:

1. Principio de homogeneidad dimensional.
   En toda ecuación que relacione variables de magnitudes físicas, las unidades a cada lado de la ecuación deben ser las mismas. Es la llamada “ley de conservación de las dimensiones”. Por ejemplo, la ecuación
   
   
   s = v₀t + at²/2
   
   tiene homogeneidad dimensional. En efecto:
   
   
   [s] = L
   [t] = T
   [v₀] = LT⁻¹
   [a] = LT⁻²
   [½] = 1 (todas las constantes tienen dimensión 1)
   [t²] = T²
   [v₀t] = LT⁻¹T = L
   [½at²] = LT⁻²T² = L
   
   La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. deben ser adimensionales.
   
   
2. Principio de semejanza o de homogeneidad matemática.
   El concepto de semejanza es fundamental en geometría. Este concepto se generaliza para que incluya a los fenómenos físicos. Afirma que “Todas las leyes de la física deben ser invariantes bajo cambios de unidades locales o globales”. Este principio es muy importante cuando se trata de modelar fenómenos físicos mediante prototipos o maquetas a escala reducida.
   
   Una función entre variables reales f(x₁, ... , x_n) es homogénea matemáticamente si al sustituir las variables x_i por x_i' = λ_ix_i (siendo los λ_i arbitrarios) se verifica que
   
   
   f(x₁’, ... , x_n’) =
   φ(λ₁, ... ,λ_n)*f(x₁, ... ,x_n)
   
   La homogeneidad matemática puede ser condicional o incondicional, dependiendo de si los λ_i sean independientes o estén ligados. Se demuestra [Palacios, 1964] que toda función incondicionalmente homogénea es un monomio.
   
   Las sustituciones del tipo x_i' = λ_ix_i representan cambios de unidades. Por lo tanto una ecuación física de la forma f(x₁, ..., x_n) = 0 debe cumplir que f(x₁, ..., x_n) sea homogénea matemáticamente.

Aplicaciones del Análisis Dimensional

• Ayuda en la modelización de fenómenos físicos. El primer paso de la modelización es la identificación de las variables que intervienen. A partir de consideraciones puramente dimensionales de las variables, muchas veces puede establecerse la ecuación que relaciona las variables.
  
  
• Resolución de problemas a nivel cualitativo, cuya solución directa o cuantitativa conlleva grandes dificultades de tipo matemático.
  
  
• Detección de errores en los modelos.

Análisis Multidimensional
Creado por George Hart [1995], es una generalización del álgebra lineal que incorpora ideas del Análisis Dimensional. La idea principal es que escalares, vectores y matrices que se utilizan en ciencia e ingeniería contienen magnitudes, es decir, números (reales o complejos) y unidades.

El álgebra lineal tradicional supone dos cosas:

1. Los elementos son números, sin dimensiones. Son magnitudes escalares.
   
   
2. Las operaciones (suma y producto) están cerradas, es decir, el resultado de una operación entre números es otro número.

Pero si se consideran magnitudes, las operaciones no están cerradas. Las magnitudes de tipos diferentes no forman un campo algebraico, pues no son cerradas bajo la suma.

Por ejemplo:

1. “1 metro + 1 segundo” es una operación no definida.
   
   
2. Si tenemos la matriz
   
   

   x=(		1m	1s	)
   		1s	1m

   
   entonces no está definida x² ni su determinante.

Según Hart, cuando se consideran cantidades dimensionadas, el álgebra lineal que resulta de considerar vectores y matrices con cantidades dimensionadas en sus componentes es sorprendentemente interesante y rica con propiedades diferentes de las no dimensionadas.


Especificación en MENTAL
Análisis Dimensional

Llamando dim(x) la dimensión de la magnitud de variable x, las reglas a aplicar en el cálculo de las expresiones dimensionales son:

⟨( (dim(r) = 1) )⟩
(La dimensión de una constante es 1)

⟨( (dim(x*y) = dim(x)*dim(y) )⟩

⟨( (dim(x÷y) = dim(x)÷dim(y) )⟩

⟨( (dim(x+y) = dim(x) )⟩
(x e y deben ser homogéneas)

⟨( (dim(x−y) = dim(x) )⟩
(x e y deben ser homogéneas)

⟨( (dim(−x) = dim(x) )⟩

Puesto que se cumple, por ejemplo, que

(T+T = T)   (3*T = T)   (−T = T)

tenemos un tipo de aritmética no diofantina [Ver Aplicaciones – Matemática – Aritméticas no Diofantinas].

Las dimensiones de una magnitud física se pueden representar también como una secuencia en la que las componente corresponden a los exponentes de las dimensiones básicas. Por ejemplo, si las dimensiones básicas son L, T y M, tenemos por ejemplo:

( dim(v) = (1 −1 0) ) // (L^1)*(T^−1)*(M^0)

( dim(m*a) = (1 −2 1) ) // (L^1)*(T^−2)*(M^1)

Entonces el producto de dos magnitudes se convierte en suma vectorial y la división en resta:

dim(v*(m*a)) // ev. (2 −3 1)

dim(v/(m*a)) // ev. (0 −3 −1)

Esto guarda cierta analogía con los logaritmos.


Análisis Multidimensional

A nivel de la matemática pura nos interesan las magnitudes geométricas. En geometría hablamos de un triángulo rectángulo de longitudes 3, 4 y 5, sin especificar la unidad, porque la unidad pertenece al mundo físico y todos los triángulos rectángulos de longitudes 3, 4 y 5 son semejantes.

Las magnitudes geométricas se pueden expresar como r*(u^n), siendo r un número real y u^n una unidad de tipo cualitativo en el espacio euclídeo de dimensión n. Su dimensión física sería Lⁿ. Por ejemplo, un segmento de longitud 6 lo podemos expresar como 6*u, para indicar que se trata de una magnitud lineal (unidimensional) de longitud 6, que es independiente de la unidad física particular elegida. Y 6*(u^2) representan 6 unidades cuadradas en el espacio bidimensional.

Las operaciones con magnitudes geométricas son homogéneas y afectan a las magnitudes que tienen la misma unidad, evitando mezclar cantidades que son cualitativamente diferentes. Por ejemplo:

(6*u + 6*(u^2) + 3*u + 2*(u^2)) // ev. (9*u + 8*(u^2))

(6*u ÷ 3*u) // ev. 2

(6*u ÷ 3*v) // se autoevalúa

Cuando se aplica el Análisis Dimensional en matemática mediante la inclusión de unidades, la matemática es más rica, más conceptual, más comprensible, más intuitiva, más cualitativa, más humanista, con más posibilidades, uniéndose los dos modos de conciencia: el analítico y el sintético.

En Análisis Multidimensional, el cuadrado de

x=(		1m	1s	)
		1s	1m

no está definida. En cambio, en MENTAL, sí. El resultado es:

x=(		m^2+s^2		2ms	)
		2m		s^2+m^2

Las unidades, cualitativas o no, se tratan como si fueran variables.

En general, las expresiones del tipo r*v, siendo r un número real y v una variable, siguen las leyes del álgebra. La variable puede ser: a) una unidad de tipo cuantitativo; b) una unidad de tipo cualitativo; c) una variable difusa, como joven, alto, rico, etc. En este último caso, r es un factor entre 0 y 1 [ver Lenguaje MENTAL – Expresiones – Magnitudes].

---

Adenda
Un poco de historia

Aunque ciertas ideas del Análisis Dimensional estaban presentes de forma implícita en los trabajos de Galileo, Kepler y Newton, se considera que el Análisis Dimensional nace formalmente con Fourier. En su obra “Teoría Analítica del Calor” (1822) afirma: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones”.

Pero el gran impulsor del Análisis Dimensional fue Lord Rayleigh, al aplicarlo de forma metódica, y con gran éxito, en la resolución de problemas de gran dificultad matemática. El método de Rayleigh fue mejorado y generalizado por Buckinham.


Teorema Pi (o de Vaschy-Buckinham)

Es el resultado central del Análisis Dimensional [ver demostración en Palacios, 1964]. Si en un fenómeno tenemos n variables dimensionales independientes, entonces se puede expresar de forma equivalente mediante un menor número de variables adimensionales, simplificando el modelo (al reducir el número de variables) y haciéndolo independiente de las unidades.

Si en un fenómeno tenemos n variables dimensionales x₁, x₂, ... , x_n relacionadas mediante

f(x₁, ... , x_n) = 0

y dichas variables se expresan en términos de k magnitudes dimensionalmente independientes, entonces esta expresión se puede escribir de forma equivalente mediante otra relación entre n−k variables independientes adimensionales:

Φ(π₁, ... , π_{n−k) = 0}

Las variables π_i se expresan como productos de potencias (monomios) de las variables dimensionales originales. Son invariantes frente a cambios de unidades y se conocen como parámetros de semejanza. La relación entre estas variables es independiente del tamaño o escala del sistema. Si dos fenómenos físicos son semejantes, se describen mediante la misma función Φ.

El teorema de Pi ya había sido anunciado por Aimé Vaschy en 1892, aunque sin hacer referencia a los monomios de dimensión nula.


Bibliografía

• Barenblatt, G.I. Dimensional Analysis. New York: Gordon and Breach Science Publishers, 1987.
  
  
• Bridgman, Percy William. Dimensional Analysis. Yale University Press, 1963.
  
  
• Buckingham, Edgar. On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Physical Review 4 (4): 345–376, 1914.
  
  
• Buckingham, Edgar. The principle of similitude. Nature 96, 396–397, 1915.
  
  
• Hart, George W. Multidimensinal Analysis: Algebras and Systems for Science and Engineering. Springer−Verlag, 1995.
  
  
• Hart, George W. The Theory of Dimensioned Matrices. Internet.
  
  
• Hilfinger, Paul N. An Ada Package for Dimensional Analysis. ACM Transactions on Programming Languages and Systems. vol. 10. no. 2, pp. 189−203, 1988.
  
  
• Langhaar, H. Dimensional Analysis and Theory of Models. John Wiley & Sons, London, 1962.
  
  
• Packhurst, R.C. Dimensinal Analysis and Scale Factors. Chapman & Hall, London, 1964.
  
  
• Palacios, Julio. Análisis Dimensional. Espasa−Calpe, Madrid, 1964.
  
  
• Szirtes, Thomas. Applied Dimensional Analysis and Modeling. Elsevier, 2006.
  
  
• Vaschy, Aimé. Sur les lois de similitude en physique. Annales Télégraphiques 19: 25–28, 1892.